Apple TVは通常、同じWi-FiにつながっていればAirPlayや画面ミラーリングできます。
こんな風に。
ただ…旧型Apple TV(～第3世代)と、iOS 14で実装された「プライベートアドレス」の相性が、良くない。
第3世代でも2012年の機種ですから、「プライベートアドレス」で生成された偽装Macアドレスを、Apple製品と認識できない時があるのかもしれません。
解決策は単純。
「プライベートアドレス」をOFFにしましょう。
手元にて、3台ほど試した限りでは、これで改善しました。
この「プライベートアドレス」の機能は、接続先毎に管理されているようです。
Public Wi-Fi などを想定しての機能だと思いますが…どこでも標準で偽装ON。
そういう時代なんですね。